解题思路：（1）利用中点坐标公式求出AB的中点C的坐标，即为所求圆的圆心坐标．再利用两点间的距离公式求出半径AC之长，即可得到所求圆标准方程．
（2）算出线段AB的垂直平分线y=6，结合题意设圆心（a，6），半径为r，可得圆的标准方程关于a、r的式子，再结合点到直线的距离公式，列出关于a、r的方程组，解之即可得到所求圆的标准方程．
（1）设圆心为C（a，b），由A（-1，2）、B（5，-6），（2分）
结合中点坐标公式，得a=[−1+5/2]=2，b=[2−6/2]=-2，可得C（2，-2）
∵|AC|=
(−1−2)2+(2+2)2=5
∴圆的半径r=|AC|=5，（5分）
因此，以线段AB为直径的圆的方程是（x-2）2+（y+2）2=25．（7分）
（2）由题意，可得圆心在线段AB的垂直平分线y=6上，
因此设圆心为（a，6），半径为r，
可得圆的标准方程为（x-a）2+（y-6）2=r2，
代入B点坐标，得（1-a）2+（10-6）2=r2，
∵直线x-2y-1=0与圆相切，∴r＝
|a−13|
5
即(a−1)2+16＝
(a−13)2
5，（9分）
解之得，a＝3，r＝2
5或 a＝−7，r＝4
5（12分）
∴圆的方程是∴（x-3）2+（y-6）2=20或 （x+7）2+（y-6）2=80（14分）
点评：
本题考点： 圆的标准方程；圆的切线方程．
考点点评： 本题给出经过两个定点并且与已知直线相切的圆，求它的标准方程，着重考查了圆的一般方程与标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．