如果三个平面两两相交于三条直线,请指出这三条直线的位置关系,并说明理由

1个回答

  • 平行或共点

    证明很简单

    就是证明,若三条直线不共点则一定平行,不会的话,可以加我

    这应该是立体几何的基本知识里的题目吧

    主要就是应用关于立体几何的三个公理

    把你的问题写成一个结论就是:

    三个平面两两相交于三条直线,则这三条直线要么相交于一点,要么互相平行.

    证明:

    两个思路

    1.证明若不是互相平行则一定相交于一点

    2.证明若不是相交于一点则一定互相平行

    思路1的证明

    假设有三个平面α,β,γ,

    并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c

    根据平行公理可知,若a,b,c不是互相平行的,

    则a,b,c中至少有两组直线不是互相平行的(自己想想为什么)

    故可以假设a与b不平行,a与c不平行

    若a与b不平行

    因a,b含于α

    故a,b一定相交

    设a∩b=P

    同理可设a∩c=Q

    假若P与Q不是同一个点

    显然P∈α,Q∈α

    据公理2可知PQ含于α,同理可得PQ含于β,PQ含于γ

    这样α,β,γ三个平面相交于一条直线,与题设矛盾

    故P与Q是同一个点

    这样就有a∩b=P且a∩c=P

    即a,b,c相交于一点

    或者简单一点

    假设有三个平面α,β,γ,

    并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c

    若a,b,c不是互相平行的,

    则可以假设a与b不平行

    若a与b不平行

    因a,b含于α

    故a,b一定相交

    设a∩b=P

    显然P∈γ,P∈β

    故P∈β∩γ=c

    即a,b,c相交于一点P

    思路2的证明

    其实思路1和思路2本质上是相同的

    假设有三个平面α,β,γ,

    并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c

    若a,b,c不是相交于一点

    则对于a和b这两条直线而言

    他们的关系就有两种(显然a与b共面,故排除了异面的情形)

    a与b相交或a//b

    假设a∩b=P

    这样就又回到了思路1了

    接下来可知这种情况下a,b,c相交于一点,与题设矛盾

    故只能a//b

    同理a//c这样由平行公理可知a//b//c