已知AD//BC,角ADC和角BCD的平分线交于点M,求证:CD=AD+BC

2个回答

  • 这是一道很典型的初中几何问题,有必要详细解答一下

    证明:

    方法一:

    在DC上截取DE=DA,连接EM

    因为DM平分∠ADC

    所以∠ADM=∠EDM=∠ADC/2

    又因为DM=DM

    所以△ADM≌△EDM(SAS)

    所以∠AMD=∠EMD,ED=AD

    因为CM平分∠BCD

    所以∠DCM=∠BCM=∠BCD/2

    因为AD//BC

    所以∠ADC+∠BCD=180°

    所以∠DCM+∠MDC=90°

    所以∠CMD=90

    所以∠EMD+∠EMC=90°,∠AMD+BMC=90°

    所以∠EMC=∠BMC

    又因为CM=CM

    所以△CBM≌△CEM(ASA)

    所以EC=BC

    所以CD=EC+ED

    即CD=AD+BC

    方法二:

    延长DM与CB的延长线交于F

    因为AD//BC

    所以∠ADF=∠F

    因为DM平分∠BCD

    所以∠ADF=∠CDF

    所以∠CDF=∠F

    所以CD=CF

    因为CM平分∠BCD

    所以根据“三线合一”性质得DM=FM

    (实际上还能得到CM⊥DF,这也是方法一中证明的一个结论,但证法不同)

    因为∠AMD=∠BMF

    所以△ADM≌△BFM(AAS)

    所以AD=BF

    所以CD=CF=BC+BF=AD+BC

    方法三:

    取CD的中N,连接MN

    证明M是中点后,MN就是中位线,

    (证明见:http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/b1bd0635f9fefd3d5ab5f561.html)

    所以2MN=AD+BC,

    而△AMB是直角三角形(CM⊥DM上面已经证明)

    则MN是斜边CD上的中线,所以2MN=CD

    所以CD=AD+BC

    江苏吴云超祝你学习进步