这是一道很典型的初中几何问题,有必要详细解答一下
证明:
方法一:
在DC上截取DE=DA,连接EM
因为DM平分∠ADC
所以∠ADM=∠EDM=∠ADC/2
又因为DM=DM
所以△ADM≌△EDM(SAS)
所以∠AMD=∠EMD,ED=AD
因为CM平分∠BCD
所以∠DCM=∠BCM=∠BCD/2
因为AD//BC
所以∠ADC+∠BCD=180°
所以∠DCM+∠MDC=90°
所以∠CMD=90
所以∠EMD+∠EMC=90°,∠AMD+BMC=90°
所以∠EMC=∠BMC
又因为CM=CM
所以△CBM≌△CEM(ASA)
所以EC=BC
所以CD=EC+ED
即CD=AD+BC
方法二:
延长DM与CB的延长线交于F
因为AD//BC
所以∠ADF=∠F
因为DM平分∠BCD
所以∠ADF=∠CDF
所以∠CDF=∠F
所以CD=CF
因为CM平分∠BCD
所以根据“三线合一”性质得DM=FM
(实际上还能得到CM⊥DF,这也是方法一中证明的一个结论,但证法不同)
因为∠AMD=∠BMF
所以△ADM≌△BFM(AAS)
所以AD=BF
所以CD=CF=BC+BF=AD+BC
方法三:
取CD的中N,连接MN
证明M是中点后,MN就是中位线,
(证明见:http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/b1bd0635f9fefd3d5ab5f561.html)
所以2MN=AD+BC,
而△AMB是直角三角形(CM⊥DM上面已经证明)
则MN是斜边CD上的中线,所以2MN=CD
所以CD=AD+BC
江苏吴云超祝你学习进步