解题思路：（I）
h(x)＝
1
2
x
2
−2x+lo
g
a
x(x＞0)
．在（0，+∞）上是增函数，所以
h′(x)＝x−2+
1
xlna
≥0在（0，+∞）上恒成立，利用分离参数法求解．
（Ⅱ）由（I），
g(x)＝lnx，g′(
x
0
)＝
1
x
0
，于是[1
x
0
＝
g(n)−g(m)/n−m
，
x
0
＝
n−m
lnn−lnm]．先证明
m＜
n−m
lnn−lnm
．等价于mlnn-mlnm-n+m＜0，构造函数r（x）=xlnn-xlnx-n+x（0＜x≤n），
通过求导研究单调性，r（x）在（0，n]上为增函数．因此当m＜n时，r（m）＜r（n）=0，即mlnn-mlnm-n+m＜0．同理可证
n＞
n−m
lnn−lnm
．综上，m＜
x
0
＜n
．
（I）因为h(x)＝
1
2x2−2x+logax(x＞0)．
所以h′(x)＝x−2+
1
xlna．
因为h（x）在（0，+∞）上是增函数．
所以x−2+
1
xlna≥0在(0，+∞)上恒成立…（1分）
当x＞0时，x−2+
1
xlna≥0⇔x2−2x≥−
1
lna．
而x2-2x=（x-1）2-1在（0，+∞）上的最小值是-1．
于是−1≥−
1
lna，即1≤
1
lna．（※）
可见a＞1(若0＜a＜1，则
1
lna＜0．这与
1
lna≥1矛盾)
从而由（※）式即得lna≤1．①…..…（4分）
同时，h′(x)＝x−2+
1
xlna＝
x2lna−2xlna+1
xlna(x＞0)
由h′(x)存在(正)零点知△＝(−2lna
)2 −4lna≥0，
解得lna≥1②，或lna≤0（因为a＞1，lna＞0，这是不可能的）．
由①②得 lna=1．
此时，h'（x）存在正零点x=1，故a=e即为所求…（6分）
注：没有提到（验证）lna=1时，h'（x）存在正零点x=1，不扣分．
（II）由（I），g(x)＝lnx，g′(x0)＝
1
x0，
于是[1
x0＝
g(n)−g(m)/n−m，x0＝
n−m
lnn−lnm]．…（7分）
以下证明m＜
n−m
lnn−lnm．（☆）
（☆）等价于mlnn-mlnm-n+m＜0．…（8分）
构造函数r（x）=xlnn-xlnx-n+x（0＜x≤n），
则r'（x）=lnn-lnx，当x∈（0，n）时，r'（x）＞0，所以r（x）在（0，n]上为增函数．
因此当m＜n时，r（m）＜r（n）=0，即mlnn-mlnm-n+m＜0．
从而x0＞m得到证明．…（11分）
同理可证n＞
n−m
lnn−lnm．综上，m＜x0＜n．…（12分）
注：没有“综上”等字眼的结论，扣（1分）．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 数与函数的单调性的结合是导数最为基本的考查，而函数的恒成立问题常转化为利用相关知识求解函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用，还考查了运用基本知识进行推理论证的能力
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