解题思路：（1）根据ex＞0，a＜0，不等式可化为x(x+1a)＜0，由此可求不等式f（x）＞0的解集；（2）求导函数，再分类讨论：①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立；②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，f（x）有极大值又有极小值．若a＞0，可得f（x）在[-1，1]上不单调；若a＜0，要使f（x）在[-1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，必须满足g(1)≥0g(−1)≥0，从而可确定a的取值范围；（3）当a=0时，原方程等价于ex−2x−1＝0，构建函数h(x)＝ex−2x−1，求导函数，可确定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，从而可确定方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，故可得k的值．
（1）因为ex＞0，所以不等式f（x）＞0，即为ax2+x＞0，
又因为a＜0，所以不等式可化为x(x+
1
a)＜0，
所以不等式f（x）＞0的解集为(0，−
1
a )．（4分）
（2）f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）
②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．（8分）
若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足
g(1)≥0
g(−1)≥0，即
3a+2≥0
−a≥0，所以−
2
3≤a＜0．
综上可知，a的取值范围是[−
2
3，0]．（10分）
（3）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于ex−
2
x−1＝0，
令h(x)＝ex−
2
x−1，
因为h′(x)＝ex+
2
x2＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，h(−3)＝e−3−
1
3＜0，h（-2）=e-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以整数k的所有值为{-3，1}．（16分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题考查解不等式，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数与方程思想，考查分类讨论的数学思想，综合性强．