观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离:4与-2,3与5,-2与-6,-4与3,回答问题:

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  • 解题思路:(1)直接借助数轴可以得出;

    (2)点B表示的数为-1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置.那么点A呢?因为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置.那么,如何求出A与B两点间的距离呢?

    结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论.

    当x<-1时,距离为-x-1,

    当-1<x<0时,距离为x+1,

    当x>0,距离为x+1.综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|;

    (3)|x-2|即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离.|x+3|=|x-(-3)|即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离. 借助数轴,我们可以得到正确答案;

    (4)分情况讨论:①当x≥5时,②当1≤x<5时,③当-1≤x<1时,④当x<-1时,分别得出f(x)的取值范围,进而确定f(x)的取值范围,从而得出a的值.

    (1)由观察可知:所得距离与这两个数的差的绝对值相等;

    (2)结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论.

    当x<-1时,距离为-x-1,

    当-1<x<0时,距离为x+1,

    当x>0,距离为x+1.综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|;

    (3)当x<-3时,|x-2|+|x+3|=2-x-(3+x)=-2x-1,此时最小值大于5;

    当-3≤x≤2时,|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5;

    当x>2时,|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1,此时最小值大于5;

    所以|x-2|+|x+3|的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2;

    (4)先求f(x)=|x-1|+|x+1|+|x-5|的值域:

    当x≥5时,f(x)=x-1+x+1+x-5=3x-5≥10,

    当1≤x<5时,f(x)=x-1+x+1+5-x=x+5,此时值域为[6,10),

    当-1≤x<1时,f(x)=1-x+x+1+5-x=7-x,此时值域为(6,8],

    当x<-1时,f(x)=1-x-x-1+5-x=5-3x>8,此时值域为(8,+∞),

    所以f(x)的值域为:f(x)≥6.

    即:|x-1|+|x+1|+|x-5|≥6,

    因为|x-1|+|x+1|+|x-5|=a无解,

    所以a<6.

    故答案为:(1)相等;(2)|x+1|;(3)5;(4)a<6.

    点评:

    本题考点: 数轴;绝对值.

    考点点评: 此题考查了数轴的有关知识,借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实上,|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离.