Question

非常重要和上题一样，用空间向量法来解

Answer 1

（1）平面 xoy 内OC与OB的夹角即为 θ；当 OC⊥OB 时,平面COD⊥平面AOB,此时 θ=π/2；

（2）按图示建立坐标系,OB为 y 轴方向、OA为 z 轴方向,C 在 xoy 平面上且 OA=OC；

在RT△OAB中,AB=4,OB=2,OA=2√3,OD=2,OC=2；∴ 向量OD={0,1,√3}；

当 θ=2π/3 时,坐标C为 (2sinθ,2cosθ,0)=(√3,-1,0)；向量OC={√3,-1,0}；

平面COD的法向量=向量OD×向量OC={1*0-(-1)*√3,√3*√3-0*0,-1*0-1*√3}={√3,3,-√3}；

平面BOD的法向量即 x 轴：{1,0,0}；

两平面法向量的夹角即等于二面角θ,因此：

二面角B-OD-C的余弦cosθ=(1*√3+3*0-√3*0/[√(3+3²+3)*1]=√3/√15=√5/5；