Question

阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A 1 、B

Answer 1

（1）S ₁=19a；

（2）过点C作CG⊥BE于点G，

设S _△BPF=x，S _△APE=y，

∵ S △BPC =

1

2 BP•CG=70 ； S △PCE =

1

2 PE•CG=35 ，

∴

S △BPC

S △PCE =

1

2 BP•CG

1

2 PE•CG =

70

35 =2 ．

∴

BP

EP =2 ，即BP=2EP．

同理，

S △APB

S △APE =

BP

PE ．

∴S _△APB=2S _△APF．

∴x+84=2y．①

∵

S △APB

S △BPD =

AP

PD =

x+84

40 ，

S △APC

S △PCD =

AP

PD =

y+35

30 ，

∴

x+84

40 =

y+35

30 ．②

由①②，得

x=56

y=70 ，

∴S _△ABC=315．

（3）设S _△BPF=m，S _△APE=n，如图所示．

依题意，得S _△APF=S _△APC=m，S _△BPC=S _△BPF=m．

∴S _△PCE=m-n．

∵

S △APB

S △APE =

S △BPC

S △PCE =

BP

PE ，

∴

2m

n =

m

m-n ．

∴2m（m-n）=mn，

∵m≠0，

∴2m-2n=n．

∴

n

m =

2

3 ．

∴

S △APE

S △BPF =

2

3 ．