(2012•襄阳)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F

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  • 解题思路:(1)由AD∥BC,由平行线的性质,可证得∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,又由EA=ED,由等腰三角形的性质,可得∠EAD=∠EDA,则可得∠DEC=∠AEB,继而证得△DEC≌△AEB,即可得梯形ABCD是等腰梯形;

    (2)由AD∥BC,BE=EC=AD,可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形,又由AB⊥AC,AE=BE=EC,易证得四边形AECD是菱形;过A作AG⊥BE于点G,易得△ABE是等边三角形,即可求得答案AG的长,继而求得菱形AECD的面积.

    (1)证明:∵AD∥BC,

    ∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,

    又∵EA=ED,

    ∴∠EAD=∠EDA,

    ∴∠DEC=∠AEB,

    又∵EB=EC,

    ∴△DEC≌△AEB,

    ∴AB=CD,

    ∴梯形ABCD是等腰梯形.

    (2)当AB⊥AC时,四边形AECD是菱形.

    证明:∵AD∥BC,BE=EC=AD,

    ∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形.

    ∴AB

    .ED,

    ∵AB⊥AC,

    ∴AE=BE=EC,

    ∴平行四边形AECD是菱形.

    过A作AG⊥BE于点G,

    ∵AE=BE=AB=2,

    ∴△ABE是等边三角形,

    ∴∠AEB=60°,

    ∴AG=

    3,

    ∴S菱形AECD=EC•AG=2×

    3=2

    3.

    点评:

    本题考点: 等腰梯形的判定;全等三角形的判定与性质;菱形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质.此题综合性较强,难度适中,注意数形结合思想的应用.