（1）当t=4时,B（4,0）,
设直线AB的解析式为y=kx+b．
把A（0,6）,B（4,0）代入得：
,
解得：,
∴直线AB的解析式为：y=- x+6．
（2）过点C作CE⊥x轴于点E,
由∠AOB=∠CEB=90°,∠ABO=∠BCE,得△AOB∽△BEC．
∴ = = = ,
∴BE= AO=3,CE= OB= ,
∴点C的坐标为（t+3,）．
方法一：
S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9,
S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t,
S△BEC= BE•CE= ×3× = t,
∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC
= t2+ t+9-3t- t
= t2+9．
方法二：
∵AB⊥BC,AB=2BC,∴S△ABC= AB•BC=BC2．
在Rt△ABC中,BC2=CE2+BE2= t2+9,
即S△ABC= t2+9．
（3）存在,理由如下：
①当t≥0时,
Ⅰ．若AD=BD,
又∵BD‖y轴,
∴∠OAB=∠ABD,∠BAD=∠ABD,
∴∠OAB=∠BAD,
又∵∠AOB=∠ABC,
∴△ABO∽△ACB,
∴ = = ,
∴ = ,
∴t=3,即B（3,0）．
Ⅱ．若AB=AD．
延长AB与CE交于点G,
又∵BD‖CG,
∴AG=AC,
过点A画AH⊥CG于H．
∴CH=HG= CG,
由△AOB∽△GEB,
得 = ,
∴GE= ．
又∵HE=AO=6,CE= +6= ×（ + ）,
∴t2-24t-36=0,
解得：t=12±6 ．因为t≥0,
所以t=12+6 ,即B（12+6 ,0）．
Ⅲ．由已知条件可知,当0≤t＜12时,∠ADB为钝角,故BD≠AB．
当t≥12时,BD≤CE＜BC＜AB．
∴当t≥0时,不存在BD=AB的情况．
②当-3≤t＜0时,如图,∠DAB是钝角．设AD=AB
过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F．
可求得点C的坐标为（t+3,）,
∴CF=OE=t+3,AF=6- ,
由BD‖y轴,AB=AD得,
∠BAO=∠ABD,∠FAC=∠BDA,∠ABD=∠ADB,
∴∠BAO=∠FAC,
又∵∠AOB=∠AFC=90°,
∴△AOB∽△AFC,
∴ = ,
∴ = ,∴t2-24t-36=0,
解得：t=12±6 ．因为-3≤t＜0,
所以t=12-6 ,即B（12-6 ,0）．
③当t＜-3时,如图,∠ABD是钝角．设AB=BD,
过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F,
可求得点C的坐标为（t+3,）,
∴CF=-（t+3）,AF=6- ,
∵AB=BD,
∴∠D=∠BAD．
又∵BD‖y轴,
∴∠D=∠CAF,
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△AFC,
∴AF=AB,CF=BC,
∴AF=2CF,即6- =-2（t+3）,
解得：t=-8,即B（-8,0）．
综上所述,存在点B使△ABD为等腰三角形,
此时点B坐标为：B1（3,0）,B2（12+6 ,0）,B3（12-6 ,0）,B4（-8,0）．