Question

设A和B都是m*n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明A^TA+B^TB正定

Answer 1

证明:显然A^TA+B^TB是对称矩阵.

设D=[A;B],即D为上下两块的分块矩阵,是2m*n实矩阵

则A,B的行向量都可由D的行向量线性表示

所以A+B的行向量都可由D的行向量线性表示

所以 r(A+B)=0,且等号成立的充要条件是Ax=0

x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)>=0,且等号成立的充要条件是Bx=0

综上有:对任一n维非零列向量x

x^T(A^TA+B^TB)x = (Ax)^T(Ax)+(Bx)^T(Bx) >0.

所以 A^TA+B^TB正定.