第一题是:∫sinx/(1+sinx)dx第二题是:∫x(arctanx)^2 dx

2个回答

  • 1.sinx/(1+sinx)=cos(pi/2-x)/(1+cos(pi/2-x))

    =[2cos^2(pi/4-x/2)-1]/[2cos^2(pi/4-x/2)]

    =1-1/2*[1/cos^2(pi/4-x/2)]

    我们知道上式前面积分为x+C,

    后面为-1/2tan(pi/4-x/2)+C,因此

    原题=x-1/2tan(pi/4-x/2)+C

    2.∫x(arctanx)^2 dx=∫(arctanx)^2 d(1/2*x^2)

    =1/2*x^2*(arctanx)^2-∫1/2*x^2d(arctanx)^2+C

    =1/2*x^2*(arctanx)^2-∫x^2*arctanx*(1/(1+x^2))dx+C

    =1/2*x^2*(arctanx)^2-∫arctanxdx+∫arctanx*(1/(1+x^2))dx+C

    ∫arctanxdx=xarctanx-∫xdarctanx+C

    =xarctanx-∫x/(1+x^2)dx+C

    =xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C

    ∫arctanx*(1/(1+x^2))dx=∫arctanxdarctanx+C

    =1/2(arctanx)^2+C

    将这些结果代入即可得到

    ∫x(arctanx)^2 dx

    =1/2*x^2*(arctanx)^2-xarctanx+1/2ln(1+x^2)+1/2(arctanx)^2+C