Question

如图所示：m个实数a1，a2，…，am，（m≥3，m∈N）依次按顺时针方向围成一个圆圈．

Answer 1

解题思路：（1）a_n+1=a_n+2ⁿ，可得a_n+1-a_n=2ⁿ，累加可得a_n=2ⁿ-1，即可求出a₁+a₂+…+a_m的值；

（2）由a_q=λa_p+（1-λ）a_i（λ＞0），得λ（a_p-a_q）=（1-λ）（a_i-a_q），当λ=1时，a₁=a₂=…=a_m成立．当λ≠1时，a_i-a_q=[λ/1−λ]（a_q-a_p），由此利用分类讨论思想能够证明a₁=a₂=…=a_m．

（1）∵a_n+1=a_n+2ⁿ，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，

累加可得a_n=2ⁿ-1，

当m=2014时，a₁+a₂+…+a_m=（2+4+…[phone]=2²⁰¹⁵-2016；

（2）证明：∵a_q=λa_p+（1-λ）a_i（λ＞0），

∴λ（a_p-a_q）=（1-λ）（a_i-a_q），

当λ=1时，a₁=a₂=…=a_m成立．

当λ≠1时，a_i-a_q=[λ/1−λ]（a_q-a_p），

则数列{a_n-a_n-1}（2≤n≤m）是等比数列，于是：

a_m-a_m-1=（a₂-a₁）（[λ/1−λ]）^m-2，

又a₁-a_m=[λ/1−λ]（a_m-a_m-1），a₂-a₁=[λ/1−λ]（a₁-a_m），

∴a₂-a₁=（[λ/1−λ]）^m（a₂-a₁），

所以[λ/1−λ]=1，或a₂-a₁=0．

若a₂-a₁=0，则a₁=a₂=…=a_m．

若[λ/1−λ]=1，则λ=[1/2]，

此时数列{a_n}（1≤n≤m）为等差数列，设公差为d，

则a_m=a₁+（m-1）d，a_m-1=a₁+（m-2）d，

又a_m=

am−1+a1

2，∴d=0，

∴a₁=a₂=…=a_m．

综上所述：a₁=a₂=…=a_m．

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查累加法求数列的通项，考查推理谁能力和计算应用能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．