Question

（2015•惠州模拟）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）依题意，a₂，a₅，a₁₄成等比数列⇒（1+4d）²=（1+d）（1+13d），可求得d，继而可求得数列{a_n}的通项公式；由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，可求得q与其首项，从而可得数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，b_n=3^n-1，由

c

1

b

1

+

c

2

b

2

+…+

c

n

b

n

=a_n+1，可求得c₁=b₁a₂=3，

c

n

b

n

=a_n+1-a_n=2（n≥2），于是可求得数列{c_n}的通项公式，继而可求得c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值．

（Ⅰ）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，

∵a₂，a₅，a₁₄成等比数列，

∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），

解得d=2，

∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；

又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，

∴q=3，b₁=1，

∴b_n=3^n-1．

（Ⅱ）∵

c1

b1+

c2

b2+…+

cn

bn=a_n+1，

∴

c1

b1=a₂，即c₁=b₁a₂=3，

又

c1

b1+

c2

b2+…+

cn−1

bn−1=a_n（n≥2），

∴

cn

bn=a_n+1-a_n=2（n≥2），

∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n≥2），

∴c_n=

3，(n＝1)

2•3n−1(n≥2)．

∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₄=3+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹³

=3+2（3+•3²+…+3²⁰¹³）

=3+2•

3(1−32013)

1−3

=3²⁰¹⁴．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，考查逻辑思维与综合分析、运算能力，属于难题．