Question

已知数列{an}中，a1=1，an+1=[n/n+1]an．

Answer 1

解题思路：（1）数列{a_n}中，由a₁=1，a_n+1=[n/n+1]a_n，分别令n=1，2，3，4，能够依次求出a₂，a₃，a₄，a₅．

（2）由数列的前5项，猜想

a

n

＝

1

n

．再用数学归纳法证明．

（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=[n/n+1]a_n，

∴a₂=[1/2×1=

1

2]，

a₃=[2/3×

1

2]=[1/3]，

a₄=[3/4×

1

3]=[1/4]，

a₅=[4/5×

1

4]=[1/5]．

（2）由数列的前5项，猜想an＝

1

n．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1＝

1

1=1，成立；

②假设n=k时，等式成立，即ak＝

1

k，

当n=k+1时，a_k+1=[k/k+1]×[1/k]=[1/k+1]，也成立．

故an＝

1

n．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的递推公式的应用，解题时要仔细观察，合理猜想，注意数学归纳法的合理运用．