（1）如图①，
△DMN是等边三角形．
（2）如图②，当M在线段BF上（与点B、F重合）时，△DMN仍是等边三角形．
证明：连接DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF是等边三角形的中位线．
∴DF=[1/2]AC，BD=[1/2]AB，EF=[1/2]AB，BF=[1/2]BC．
∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，DF=BF=EF，
∴∠ABC=∠DFE，
∵FM=EN，
∴BM=NF，
∴△BDM≌△FDN，
∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，
∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，
△DMN是等边三角形；
（3）如图③或图④，当点M在射线FC上（与点F不重合）时，（1）中的结论不成立，
即△DMN不是等边三角形．