Question

设数列{an}满足：a1=5，an+1+4an=5，（n∈N*）

Answer 1

解题思路：（I）由a_n+1+4a_n=5，得a_n+1=-4a_n+5，利用待定系数法，即可求得结论；

（Ⅱ）设数列b_n=|a_n|，确定其通项，再分组求和，即可得到结论．

（I）由a_n+1+4a_n=5，得a_n+1=-4a_n+5，

令a_n+1+t=-4（a_n+t），…（2分）

得a_n+1=-4a_n-5t，则-5t=5，∴t=-1…（4分）

∴a_n+1-1=-4（a_n-1），

又a₁=5，∴a₁-1=4，∴{a_n-1}是首项为4，公比为-4的等比数列，

∴存在这样的实数t=-1，使{a_n+t}是等比数列．…（6分）

（II）由（I）得a_n-1=4•（-4）^n-1，∴a_n=1+4•（-4）^n-1．…（7分）

∴b_n=|a_n|=

1+4n，n为奇数

4n−1，n为偶数…（8分）

∴S₂₀₁₃=b₁+b₂+…+b_n=（1+4）+（4²-1）+…+（1+4²⁰¹³）=4+4²+…+4²⁰¹³+1=

4−42014

1−4+1=

42014−1

3…（12分）

点评：

本题考点： 等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的判定，考查数列的求和，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．