解题思路:(1)由已知得,楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和,由已知中某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋x层,每层2000平方米的楼房,我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;
(2)由(1)中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式,要求楼房每平方米的平均综合费用最小值,我们有两种思路,一是利用基本不等式,二是使用导数法,分析函数的单调性,再求最小值.
(1)设楼房每平方米的平均综合费为y元,依题意得
y=(560+48x)+[2160×10000/2000x]=560+48x+[10800/x](x≥10,x∈N*);
(定义域不对扣1-2分)
(2)法一:∵x>0,∴48x+[10800/x]≥2
48×10800=1440,
当且仅当48x=[10800/x],即x=15时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000元.
答:当该楼房建造15层,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
法二:先考虑函数y=560+48x+[10800/x](x≥10,x∈R);
则y'=48-
10800
x2,令y'=0,即48-
10800
x2=0,解得x=15,
当0<x<15时,y'<0;当x>15时,y'>0,又15∈N*,
因此,当x=15时,y取得最小值,ymin=2000元.
答:当该楼房建造15层,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
点评:
本题考点: 函数模型的选择与应用;函数最值的应用.
考点点评: 函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.