已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交 - 知识问答

已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证[1|FA|+1|

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解题思路：设过焦点F的直线方程为 y=k（x-[p/2]）与y²=2px联立消y得
k
2
(x−
p
2
)
2
＝2px
，
k
2
x
2
−(
k
2
p+2p)x+
p
4
k
2
＝0
，再由根与系数的关系能够求出
1
|FA|
+
1
|FB|
＝
|FA|+|FB|
|FA|•|FB|
的值．
证明：设过焦点F的直线方程为 y=k（x-
p/2]）与y²=2px联立消y得k2(x−
p
2)2＝2px，
∴k²x²-（k²p+2p）x+
k2p2
4=0，
∴x1+x2＝
k2p+2p
k2，x₁x₂=
p2
4．
∴|FA|=x1+
p
2，|FB|=x2+
p
2，
∴[1
|FA|+
1
|FB|＝
|FA|+|FB|
|FA|•|FB|=
x1+x2+p
(x1+
p/2) (x2+
p
2) ]=[2/p]．
点评：
本题考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质．
考点点评：本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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