Question

如图,AE∥CF,AG、CG分别平分∠EAC和∠FCA,过点G的直线BD丄AE,交AE于B,交CF于D,求证:AB+CD

Answer 1

证明：方法一：在AC上截取AE＝AB,连接EG 因为AG平分∠BAC 所以∠BAG＝∠EAG＝∠BAC/2 又因为AG＝AG 所以△BAG≌△EAG（SBS） 所以∠BGA＝∠EGA,EA＝BA 因为CG平分∠DCA 所以∠ACG＝∠DCG＝∠DCA/2 因为BA//DC 所以∠BAC＋∠DCA＝180° 所以∠ACG＋∠GAC＝90° 所以∠CGA＝90 所以∠EGA＋∠EGC＝90°,∠BGA＋DGC＝90° 所以∠EGC＝∠DGC 又因为CG＝CG 所以△CDG≌△CEG（BSB） 所以EC＝DC 所以CA＝EC＋EA 即CA＝BA＋DC 方法二：延长AG与CD的延长线交于F 因为BA//DC 所以∠BAF＝∠F 因为AG平分∠DCA 所以∠BAF＝∠CAF 所以∠CAF＝∠F 所以CA＝CF 因为CG平分∠DCA 所以根据“三线合一”性质得AG＝FG （实际上还能得到CG⊥AF,这也是方法一中证明的一个结论,但证法不同） 因为∠BGA＝∠DGF 所以△BAG≌△DFG（BBS） 所以BA＝DF 所以CA＝CF＝DC＋DF＝BA＋