Question

在△ABC中,∠BAC=2∠ACB,D是⊿ABC内一点,且有AD=CD,BD=BA,探究∠DBC的度数和∠ABC的度数之

Answer 1

作BM‖AC,并使∠MCA=∠BAC

∵∠BAC≠90° ∴∠MCA+∠BAC≠180° ∴AB不平行于CM

又∵BM‖AC,且∠MCA=∠BAC ∴四边形MCAB是等腰梯形 ∴AB=CM

∵AD=CD ∴∠DCA=∠DAC

又∵∠MCA=∠BAC ∴∠MCA－∠DCA=∠BAC－∠DAC 即 ∠MCD=∠BAD

∴△MCD≌△BAD ∴MD=BD

又∵BD=BA,BA=MC ∴MD=BD=BA=MC

∵∠MCA=∠BAC,∠BAC=2∠ACB ∴∠MCA=2∠ACB ∴∠MCB=∠ACB

∵BM‖AC ∴∠ACB=∠MBC ∴∠MCB=∠MBC ∴MC=MB ∴MB=MD=BD

∴△MDB为等边三角形 ∴∠MBD=60 ∴∠BCA=∠MBC=∠MBD－∠CBD=60°－∠CBD

∵∠BAC=2∠ACB=2（60°－∠CBD）=120°－2∠CBD

∵在△ABC中,∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°

∴（60°－∠CBD）+（120°－2∠CBD）+（∠CBD+∠ABD）=180°∴∠ABD=2∠CBD

∴∠DBC：∠ABC=∠DBC：（∠ABD+∠DBC）=∠DBC：3∠DBC=1：3