Question

设A=I-ξξT，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明

Answer 1

解题思路：（1）A²=A⇔ξ^Tξ=1，将A=I-ξξ^T代入到A²=A即可证明出来；

（2）ξ^Tξ=1⇒A不可逆，只需证明|A|=0或者是与之等价的Ax=0有非零解，同时为了利用A=I-ξξ^T，在等式两边同时右乘ξ，就会得到Aξ=0，说明Ax=0有非零解．

证明：

（1）

由A=I-ξξ^T得：

A²=（I-ξξ^T）（I-ξξ^T）=I-2ξξ^T+ξ（ξ^Tξ）ξ^T=I-（2-ξ^Tξ）ξξ^T，

从而：A²=A⇔I-（2-ξ^Tξ）ξξ^T=I-ξξ^T⇔（ξ^Tξ-1）ξξ^T=0，

而ξ是n维非零列向量，因此：ξξ^T≠0，

故：A²=A⇔（ξ^Tξ-1）ξξ^T=0⇔ξ^Tξ-1=0⇔ξ^Tξ=1．

（2）

由A=I-ξξ^T两边同时右乘ξ，得：Aξ=ξ-ξξ^Tξ，

∴当ξ^Tξ=1时，Aξ=ξ-ξ=0，

而ξ≠0，这说明Ax=0有非零解，

于是由克莱姆法则知：|A|=0，

故A不可逆．

点评：

本题考点： 可逆矩阵的性质；单位矩阵的概念及其性质；可逆矩阵和不可逆矩阵．

考点点评： 证明n阶矩阵A不可逆，常用的有|A|=0、r（A）＜n和AX=0有非零解，基本思路要清楚．