我们知道,减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,那么,加法是不是减法的逆运算呢,乘法是不是除法的逆运算呢?
关于这个问题,可以从运算的数学意义角度理解.
一般说运算都指代数运算,它是集合中的一种对应.对于集合A中的有序元素对a、b,有集合A中唯一确定的第三个元素c与它们对应,叫做集合A中定义了一种运算.(例如,(3,2)这对数按照某种法则与5相对应,这就是一种加法运算,3+2=5.如果这对数与6相对应,就是乘法运算,3×2=6.)
所谓逆运算,就是把c以及a、b中的一个当作已知,把a、b中的另一个当做所求的运算.这样看来,对于前面元素对a,b与c对应的运算来说,就存在两种逆运算.它的第一个逆运算是：对于元素对c、b,使元素a与它们对应；它的第二个逆运算是：对于元素对c、a,使元素b与它们对应.
如果一个运算满足交换律,即这个运算对于任意一对元素a、b或b、a,永远得到同一的结果,那么,这个运算的两个逆运算是一致的.也就是说,在这种情况下,这个运算有唯一的逆运算.
对于整数集来说,任意两个整数的加法运算满足加法交换律,加法算式中的两个加数都可以用“和减去一个加数等于另一加数”求出来,所以加法有唯一的逆运算——减法.例如,数对(3,2)与5对应,确定加法运算后,已知3和5,可以用减法求出2,已知2和5也可以用减法求出3.
但是,每一个运算并不都有逆运算.例如,减法算式中的被减数和减数,只有被减数可以用“差与减数相加”这种加法运算得到,减数却不能用加法运算得到.例如,数对(3,2)与1对应确定减法运算后,已知2和1可以用加法求出3,但已知3和1,却不能用加法求出2.
所以不能说加法是减法的逆运算,也就不能说加法和减法互为逆运算.
同样道理,我们也不能说乘法是除法的逆运算,或者乘除法是互逆运算.