Question

设a,b,c 属于正数,且a+b+c=1,求证：(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)大于等于8

Answer 1

(1a-1)(1b-1)(1c-1)=（1-a)(1-b)(1-c)/abc=（b+c)(c+a)(a+b)/abc

于是（b+c)(c+a)(a+b)/abc>=8

(b+c)(c+a)(a+b)>=8abc

∑a^2(b+c)+2abc>=8abc

∑a^2(b+c)-6abc>=0

∑[a(b^2+c^2)-2abc]>=0

∑a(b-c)^2>=0

所以原不等式成立!

（如果利用均值不等式也可以,就是（b+c)(c+a)(a+b)/abc,利用b+c>=2√bc)