(1)(2)(4)(5)(6)都是绝对收敛的.
(1)取绝对值后即∑1/(2n-1)².
由1/(2n-1)² ≤ 1/n²,而∑1/n²收敛,用比较判别法即得.
(2)取绝对值后即∑1/(n·2^n).
由1/(n·2^n) ≤ 1/2^n,而∑1/2^n收敛,用比较判别法即得.
(4)取绝对值后即∑|sin(na)|/(n+1)².
由|sin(na)|/(n+1)² ≤ 1/n²,而∑1/n²收敛,用比较判别法即得.
(5)取绝对值后即∑1/2^n+∑3/10^n (正项级数敛散性重排不变).
两项都是收敛的等比级数,因此和也是收敛的.
(6)取绝对值后即1/2+∑(2n+1)²/2^(n+1).
当n → ∞时,后项与前项比值1/2·(2n+3)²/(2n+1)² → 1/2 < 1.
根据D'Alembert判别法即得.
(3)是条件收敛的.
首先(3)是交错级数,通项绝对值1/ln(n+1)单调趋于0.
根据Leibniz判别法,原级数收敛.
而取绝对值后即∑1/ln(n+1).
由1/ln(1+n) > 1/n,而∑1/n发散,用比较判别法即知∑1/ln(n+1)发散.
于是原级数收敛但不绝对收敛,即为条件收敛.