Question

已知四边形ABCD,以它的四边为边分别向外作正方形,顺次连接四个正方形的对角线交点E,F,G,H,得到一个新的四边形EF

Answer 1

）证明：连接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,

即以ABCD为边的正方形的对角线也相等,

∵点E、G是上述两个正方形的对角线的交点,

∴AH=DH,

易知∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG+45°=90°+∠ADC,

∵平行四边形ABCD中,有∠BAD=180°-∠ADC,

∴∠HAE=360°-（∠HAD+∠BAD+∠BAE）=360°-[45°+（180°-∠ADC）+45°]=90°+∠ADC,

∴∠HDG=∠HAE,

∴△HDG≌△HAE,

∴HG=HE且∠EHA=∠GHD,

同理可证HE=EF=FG,

∴四边形EFGH是菱形,

∵点H是正方形的对角线的交点,

∴∠AHD=90°,即∠AHG+∠GHD=90°,

∴∠EHG=90°,

∴四边形EFGH是正方形．