Question

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,且AD=1,AB=2,tan∠DCB=2,对角线AC和BD相交于点

Answer 1

⑴过D作DG⊥BC于G,则ABGD是矩形,∴DG=AB=2,

∵tanC=DG/CG=2,∴CG=1,∴BC=AD+CG=2,∴AB=BC,

∵BE=BF,∴RTΔBAF≌RTΔBCE,∴∠ECB=∠BAF,

∵∠BAF+∠F=90°,∴∠ECB+∠F=90°,∴AF⊥CE.

⑵AF⊥CE.

理由：∵∠ABC=∠EBF=90°,∴∠ABC-∠FBC=∠EBF-∠FBC,即∠ABF=∠CBE,

∵BA=BC,BF=BE,∴ΔBAF≌ΔBCE,∴∠BAF=∠BCE,

延长AF交BC于H、交CE于P,则∠CHP=∠AHB,

又∠BAF+∠AHB=90°,∴∠CHP+∠BCE=90°,∴AF⊥CE.

⑶在RTΔABC中,AB=AC,∴∠BAO=45°,又ΔBEF是等腰直角三角形,∴∠BEM=45°

且∠ABO=∠CBE(⑵中已证),

∴ΔBME∽ΔBOA.(已知条件中的线段OF=√5/6是多余的)