Question

已知双曲线C：x2/2-y2/b2=1(b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,P,M为C上任意点,∠F1PF2=π/2,

Answer 1

（|PF2| - |PF1|)^2=(2a)^2,即|PF2|^2+|PF1|^2-2|PF1||PF2|=4a^2 （*） 又：|PF2|^2+|PF1|^2=（2c)^2=4c^2=4(a^2+b^2) (画个图吧,勾股定理可得）； 2|PF1||PF2|=4S△PF1F2=4； a^2=2；将以上三式代入（*）得b^2=1,c^2=3 故离心率e=c/a=根号6/2,右准线方程为想x=a^2/c=2/根号3,过M做平行与x轴的直线交右准线于Q,由双曲线的第二定义知：|MF2|/|MQ|=e,即|MF2|=e|MQ| 故根号6/3|MF2|=根号6/3 x 根号6/2 x |MQ|=|MQ|,故根号6/3|MF2|+|MN|=|MQ|+|MN|≥|NQ|(三角形的两边之和大于第三边,当且仅当Q,N,M共线时取等,自己画个图吧,N在双曲线的上方） 故根号6/3|MF2|+|MN|=|MQ|+|MN|≥|NQ|≥1-2/根号3,当且仅当Q,N,M共线时取等.故6/3|MF2|+|MN|的最小值为1-2/根号3,即（3-2根号3）/3