Question

已知点P是圆C：x 2 +y 2 =1外一点，设k 1 ，k 2 分别是过点P的圆C两条切线的斜率．

Answer 1

（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；

∵其与圆相切，则

|2k-2|

k 2 +1 =1，化简得3k ²-8k+3=0，

∴k ₁•k ₂=1．

（2）设点P坐标为（x ₀，y ₀），过点P的切线斜率为k，

则方程为y-y ₀=k（x-x ₀），即kx-y-2k+2=0，

∵其与圆相切，∴

|k x 0 - y 0 |

k 2 + 1 =1，化简得（x ₀ ²-1）k ²-2x ₀y ₀+（y ₀ ²-1）=0，

∵k ₁，k ₂存在，

则x ₀≠1且x ₀≠-1，△=（2x ₀y ₀） ²-4（x ₀ ²-1）（y ₀ ²-1）=4（x ₀ ²+y ₀ ²）-4＞0，

∵k ₁，k ₂是方程的两个根，

∴k ₁•k ₂=

y 0 2 -1

x 0 2 -1 =-λ，化简得λx ₀ ²+y ₀ ²=λ+1．

即所求的曲线M的方程为：λx ²+y ²=λ+1（x≠±1）；

若λ∈（-∞，-1）时，所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的双曲线；

若λ∈（-1，0）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的双曲线；

若λ∈（0，1），M所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的椭圆；

若λ=1时，M所在曲线M是圆；

若λ∈（1，+∞）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的椭圆．