Question

数列{an}满足a1=3，an-anan+1=1，An表示{an}的前n项之积，则A2009等于（　　）

Answer 1

解题思路：由已知得{a_n}是以3为周期的周期数列，A₂₀₀₉=（a₁•a₂•a₃）⁶⁶⁹•a₁•a₂，由此能求出结果．

∵a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，

∴a_n+1=

an-1

an=1-[1

an，

∴a₂=1-

1/3]=[2/3]，

a₃=1-[3/2]=-[1/2]，

a₄=1+2=3，

…，

∴数列{a_n}是以3为周期的数列，

且a₁•a₂•a₃=3×[2/3]×（-[1/2]）=-1，

∵2009=669×3+2

∴A₂₀₀₉=（a₁•a₂•a₃）⁶⁶⁹•a₁•a₂=（-1）⁶⁶⁹•3×[2/3]=-2．

故选：B

点评：

本题考点： 数列递推式

考点点评： 本题考查数列的前2009项积的求法，解题时要关键是推导出{an}是以3为周期的周期数列．是中档题