解题思路：（1）求得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最小值．
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数F（x）的单调性．
函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=[1/e]
∴0＜x＜[1/e]时，f′（x）＜0，x＞[1/e]时，f′（x）＞0
∴x=[1/e]时，函数取得极小值，也是函数的最小值
∴f（x）min=f（[1/e]）=[1/e]•ln[1/e]=-[1/e]．
（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），F′（x）=
2ax2+1
x（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得0＜x＜
−
1
2a；
令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得x＞
−
1
2a．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，
−
1
2a）上单调递增，在（
−
1
2a，+∞）上单调递减．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．