Question

数列极限命题的证明最后一个打错了，不是x^n，是x(n)

Answer 1

设 x2/x1=L1,x3/x2=L2…… x/xt=Lt

当n>t时,恒有|L-Ln|≤|Lt - l |

则

lim (xn/x) ·lim (x/x) ·……·lim (x2/x1)

=lim (xn/x1)

= l·l·l·……·Lt·L……L1

= [ lim(n→∞) l^(n-t) ] · Lt·L……L1

因此 lim(n→∞) n次根号下xn /x1^(1/n) = [ lim(n→∞) l^((n-t)/n) ] ·( Lt·L……L1)^(1/n)

由于 lim(n→∞) 1/n = 0,

故 lim(n→∞) x1^(1/n) = 1,lim(n→∞) ( Lt·L……L1)^(1/n) = 1

因此,lim(n→∞) n次根号下xn = lim(n→∞) l^((n-t)/n)

=lim(n→∞) l^( 1 - t/n)

= l

证毕