已知函数f(x)=x|x|-2ax+1(x,a∈R)有下列四个结论:

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  • 解题思路:(1)若f(x)的图象关于原点对称则f(0)=0,因为f(0)=1所以(1)错.

    (2)函数f(|x|)=f(|-x|)所以函数为偶函数,当x≥0时y=x2-2ax+1此时其对称轴为x=a.所以(2)错.

    (3)(4)根据函数的图象可得若y=f(x)的图象与直线y=2有两个不同交点,则a=1,若f(x)在R上是增函数,则a≤0所以(3)(4)正确.

    (1)当a=0时,函数f(x)=x|x|+1由题得x∈R所以x=0有意义,所以所以当a=0时,f(x)的图象不关于原点对称.(1)错.

    (2)f(|x|)=x2-2a|x|+1,所以函数f(|x|)=f(|-x|)所以函数为偶函数.当x≥0时y=x2-2ax+1此时其对称轴为x=a,当a≤0时函数的最小值为1,由函数是偶函数得当x≥0时函数的最小值也是1,所以f(|x|)有最小值1-a2是错误的.(2)错.

    (3)由题意得y=f(x)=

    x2−2ax+1,x≥0

    −x2−2ax+1,x<0,

    当a<0时与a≥0时函数的图象分别为

    所以若y=f(x)的图象与直线y=2有两个不同交点,则a=1.(3)正确.

    (4)由(3)可得当a≤0时函数函数f(x)=x|x|-2ax+1是增函数.(4)正确.

    故选D.

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质.

    考点点评: 本题主要考查二次函数的奇偶性,单调性等性质,解决此类问题的方法是根据函数的解析式画出函数的图象,运用数形结合的数学思想解决问题.