Question

怎样用幂级数求函数高阶导数?如y=-1/(1+x^2) 求y(0)的n阶导数 求指教

Answer 1

根据函数的泰勒级数中的每一项的系数是如下形式：y⁽ⁿ⁾(x0)/n!=an

因此可利用展开式：y⁽ⁿ⁾(x0)=an*n!就可求出高阶导数

1/(1+x)=1-x+x²-x³+.+(-1)ⁿxⁿ+...

将x换成x²,前面加负号

-1/(1+x²)=-1+x²-x⁴+x⁶-x⁸+.+(-1)ⁿx²ⁿ+...

若要求y(0)的n阶导数,首先要知道n的奇偶性,若n为奇数,则y⁽ⁿ⁾(0)=0

若n为偶数,则an=-(-1)^(n/2),因此y⁽ⁿ⁾(0)=-(-1)^(n/2)*n!