Question

1.设抛物线y＾2=4px(p＞0)的焦点弦AB被焦点分成长分别为m,n的两部分,求证:1/m+1/n为定值.

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2)过焦点的直线AB方程为x=my+p.带入曲线方程有 y*2-4mpy-4p*2=0 所以y1+y2=4mp y1×y2=－4p*2由焦半径公式有 m=p+x1 n=p+x2所以1/m+1/n=1/(p+x1)+1/(p+x2)=(2p+x1+x2)/(p*2+px1+px2+x1x2)（通分） =[m(y1+y2)+4p]/[m*2y1y2+2mp(y1+y2)+4p*2](由x=my+p换掉 x) =[4p(m*+1)]/[4p*2(m*2+1)]=1/p(定值）