据我所知, 非线性迭代没有通法, 只有某些个别的例子.
直观上也不能指望随便写一个迭代都有闭形式的通项公式.
从命题的角度看, 出题人只需选取一个易于迭代的g(x),
再选一个φ(x), 就能给出f(x) = φ^(-1)(g(φ(x)).
但这不说明与f(x)相近的函数都能找到合适的g和φ, 还是要看巧合.
g的选择其实非常有限, 常见的也就是线性函数和幂函数.
而如果随意选取φ, 一般来说φ^(-1)(g(φ(x))都难以化简,
这会使得由f寻找g和φ变容易.
当选择φ为线性或分式线性函数时, 可以进行充分的化简.
这时使用待定系数就能找到φ (也可结合不动点来考虑).
如果φ不是上述情况, 就只能依靠恒等变形的经验和观察力来求了.
不过这样的g和φ属于可遇不可求, 随着做题积累就好了.
以二次函数迭代为例.
一般就是g(x) = x², 取φ(x) = ax+b即得f(x) = ax²+2bx+(b²-b)/a.
这样能处理的首项系数为1且不含常数项的只有f(x) = x²+2x和f(x) = x².
另外有一族g(x) = 2x²-1 (后面具体讨论),
取φ(x) = ax+b即得f(x) = 2ax²+4bx+(2b²-b-1)/a.
这样能处理的首项系数为1且不含常数项的只有f(x) = x²+4x和f(x) = x²-2x.
二次函数我就知道这两组,
至于f(x) = x²+x恐怕是没办法表示成闭形式的 (不确定).
这里解释一下g(x) = 2x²-1是如何迭代的.
其实是由g(cos(t)) = cos(2t), g(cosh(t)) = cosh(2t),
即以cos(t)或cosh(t)为桥函数 (对应x的不同取值范围).
这算是可遇不可求的一例吧.
以此为线索, 三角函数的倍角公式可以产生一批例子.