Question

已知A、B、C是抛物线y2=2px上的三点，且BC与x轴垂直，直线AB，AC分别与抛物线的轴交于D、E两点，求证：抛物线

Answer 1

解题思路：先设出抛物线的参数方程及B，C，A的坐标，则直线AC，AB的直线方程可表示出来，进而求得AC，AB与x轴的交点D，E的坐标，进而可证明结论．

抛物线参数方程为y=t，x=′

t2

2p，

设B（

t21

2p，t₁），C（

t21

2p，-t₁），A（

t22

2p，t₂）

所以求得AC的直线方程为

y-t₂=

(t2−t1)(x−

t22

2p)

t22

2p−

t21

2p

化简y-t₂=

2p(x−

t22

2p)

t1+t2

同理求得直线AB方程为

y-t₂=

2p(x−

t22

2p)

t2−t1，

∴可以求出AB、AC与x轴即抛物线轴交点

D（-

t1•t2

2p，0）、E（

t1t2

2p，0）

所以，抛物线的顶点平分线段DE

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了抛物线的方程，参数方程，直线方程的相关问题．考查了学生基础知识综合运用．