解题思路:分析题设命题,根据命题对于椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)性质能构造出一个具有一般性结论的命题,使题设命题是一个特例,写出这一命题并证明:(1)不妨设A(-a,0),A′(a,0),则直线l:y-y1=-
b
2
x
1
a
2
y
1
(x−
x
1
)
,即
b
2
x
1
x+
a
2
y
1
y=
b
2
x
1
2
+
a
2
y
1
2
=
a
2
b
2
,由M与A,M′与A′在相同的横坐标,能证明|AM||A′M′|=b2;(2)由题意知,不论四点的位置如何,四边形的面积
S=
1
2
|AA′|(|AM|+|A′M′|)
.由此能证明四边形的面积的最小值为2ab.
这一命题是:已知
x2
a2+
y2
b2=1,a>b>0,AA′是椭圆的长轴,P(x1,y1)是椭圆上异于A,A′的任意一点,过P作斜率为-
b2x1
a2y1的直线l,过直线l上的两点M,M′分别作x轴的垂线,垂足分别为A,A′,则:
(1)|AM||A′M′|为定值b2;
(2)由A,A′,M′,M四点构成的四边形面积的最小值为2ab.(6分).
这个命题是真命题,证明如下:
(1)不妨设A(-a,0),A′(a,0),则直线l:y-y1=-
b2x1
a2y1(x−x1),
即b2x1x+a2y1y=b2x12+a2y12=a2b2,
由M与A,M′与A′在相同的横坐标,
得M(-a,
ab2+b2x1
ay1),M′(a,
ab2−b2x1
ay1),
∴|AM||A′M′|=|yMyM′|
=|
ab2+b2x1
ay1•
ab2−b2x1
ay1|
=|b2•
a2b2−b2x12
a
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.
考点点评: 本题考查命题的叙述与证明,考查椭圆的性质、直线与圆锥曲线的关系、考查函数与方程思想、考查推理论证能力的培养,是中档题.