Question

设a,b,c是互不相等的三个实数,如果A(a,a^3),B(b,b^3),C(c,c^3)在同一直线上,求证：a+b+c

Answer 1

因为A,B和C在同一条直线上,我们取任意两点,所得到的斜率应该一样的,不妨取A,C 和 A,B 来计算斜率

由A,C算得的斜率为 k1=(c^3-a^3)/(c-a)

由A,B算得的斜率为 k2=(b^3-a^3)/(b-a)

因为k1=k2,所以

(c^3-a^3)/(c-a)=(b^3-a^3)/(b-a)……①

由立方差公式

c^3-a^3=(c-a)*(c^2+c*a+a^2),我们可以知道(c^3-a^3)/(c-a)=c^2+c*a+a^2

因此,由①得

c^2+c*a+a^2=b^2+b*a+a^2

c^2-b^2=b*a-c*a

(c-b)*(c+b)=(b-c)*a

c+b=-a

a+b+c=0 证毕