解题思路：（1）当抛物线与x轴只有一个交点时，其△=0，进而得到一个关于m的方程，求解后代入原函数进而求得交点坐标；
（2）根据与横轴两交点之间的距离等于1，得到一个有关m的方程，然后求得m的值．
（1）①若m=0，函数为一次函数，
图象为直线，必与x轴只有一个交点．
原方程即y=-x+1，当y=0时，x=1，
所以与x轴交点为（1，0）
②若m≠0，函数为二次函数，
抛物线与x轴只有一个交点时，b2-4ac=0，且
b2−4ac＝(m−1)2−4m(−2m+1)
＝9m2−6m+1
＝(3m−1)2
即（3m-1）2=0
解得m1，2＝
1
3
原方程即y＝
1
3x2−
2
3x+
1
3，
当y=0时，x1，2=1，所以与x轴交点为（1，0）
（2）函数图象与x轴相交于AB两点，
即当y=0时，mx2+（m-1）x-2m+1=0，
解得x1＝1，x2＝
1−2m
m
又AB=1，即|
1−2m
m−1|＝1
解得m1＝
1
2，m2＝
1
4，经检验，结论成立．
点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．
考点点评： 本题时一道二次函数与一元二次方程相结合的题目，同时本题还渗透了分类讨论思想，同时还提醒学生们注意二次项系数不能为0．