Question

已知在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．求证：AB-AC=2

Answer 1

解题思路：在AB上取D使FD=AF．连ED并延长交圆于G．连BG，利用线段垂直平分线的性质证明圆周角相等，得出弧相等，弦相等，证明结论．

证明：如图．在AB上取D使FD=AF．连ED并延长交圆于G．连BG…（5分）

则有∠1=∠2=∠3．∠1=∠G．

∴∠3=∠G，BG=BD，

又因为∠BAC=180-2∠1=180-（∠1+∠2）=∠AEG．…（10分）

∴

BGC=

ACG，

∴

AC=

BG，即AC=BG．

∴AB-AC=AB-BD=AD=2AF．…（15分）

点评：

本题考点： 圆周角定理；三角形的外接圆与外心．

考点点评： 本题考查了圆周角定理，三角形外接圆的性质．关键是通过作辅助线，证明圆周角相等，得出弧相等，弦相等，推出结论．