Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1．（1）求实数b值；（2）若不等式f（x）≥-2恒成

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1，

∴a+b+c=1，a-b+c=-1，解得 b=1，且 a+c=0．

（2）由上知 f（x）=ax²+x-a，

∵不等式f（x）≥-2恒成立，

∴ax²+x+2-a≥0 恒成立，

∴

a＞0

△ ＝ 1 − 4a(2−a)≤0，解得 0＜a≤1+

3

2．

故实数a的取值范围为 {a|0＜a≤1+

3

2 }．

（3）由函数y=f（x）存在最大值M（a），f（x）=ax²+x-a，

故a＜0，且最大值 M（a）=

−4a2−1

4a=（-a）+（ [−1/4a]）≥2

1

4=1，

当且仅当 （-a）=（ [−1/4a]），即 a=-[1/2] 时，等号成立，

故M（a）的最小值为1．