Question

数列{an}满足a1=1，an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）利用已知条件a_n+3=a_n+3，求出a₄=4，a₇=7，再利用条件a_n+2≥a_n+2得到a₇，a₅，a₃，a₆值．

（2）利用已知条件a_n+2≥a_n+2得到数列的递推关系，利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，利用通项公式求出

数列{a_n}的通项公式a_n．
（3）先求出通项

1

a

n

2

=

1

n

2

，再将其放缩，然后利用裂项相消的方法证出不等式．

（1）∵a₁=1，a_n+3=a_n+3，

∴a₄=4，a₇=7

∵a_n+2≥a_n+2

∴a₃≥3，a₅≥a₃+2，a₇≥a₅+2，

∴a₅=5，a₃=3，a₆=a₃+3=6

（2）∵a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）

∴a_n+3≤a_n+2+1（n∈N^*）

∴a_n+1≤a_n+1，a_n+2≤a_n+1+1

∴a_n+1+a_n+2+a_n+3≤a_n+a_n+1+a_n+2+3，即a_n+3≤a_n+3

∴a_n+1=a_n+1，a_n+2=a_n+1+1，a_n+3=a_n+2+1

∴{a_n}为等差数列，公差d=1．

∴a_n=n

（3）证明：n=1时，

1

a12=1＜2成立n＞1时，

∵

1

an2=[1

n2＜

1

n(n−1)＝

1/n−1−

1

n]（n＞1）

∴

1

a12+

1

a22+

1

a32+…+

1

an2

＜1+(1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

n−1−

1

n)=2−

1

n＜2

∴

1

a12+

1

a22+

1

a32+…+

1

an2＜2

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 证明与数列的和有关的不等式时，一般能求和的先求出和，若不能求和，常通过放缩法转化为能求和的数列和的不等式再证明．