Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）

Answer 1

解题思路：根据题意，底数小于1的指数函数符合题中条件，不妨令f（x）=

(

1

2

)

x

，从而求得a₁=f（0）=1，再由

f(

a

n+1

)＝

1

f(−2−

a

n

)

（n∈N^*），得a_n+1=a_n+2，再由等差数列的定义求得结果．

根据题意，不妨设f（x）=(

1/2)x，（其中x∈R）；则a₁=f（0）=1，

∵f(an+1)=

1

f(-2-an)]（n∈N^*），∴(

1

2)an+1=

1

(

1

2)-2-an=(

1

2)2+an，∴a_n+1=a_n+2；

∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列；∴a_n=2n-1，∴a₂₀₁₀=4019．

故答案为：4019．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查了数列与函数的综合运用，本题中的条件满足底数小于1的指数函数，不妨用特殊值法来解答，可以提高解题效率．