Question

设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，且F（x）=f（x）-g（x）．

Answer 1

解题思路：（1）求导确定函数的单调性，将恒成立问题化为最值问题；

（2）化简x₂-x₁后观察形式，利用函数单调性求解．

（1）F（0）=1，F′（0）=2-a，F″（x）=e^x-sinx＞0，

从而F′（x）在[0，+∞）上递增；

①当a≤2时，F′（x）≥F′（0）=2-a≥0，

F（x）在[0，+∞）上单调递增，

则F（x）≥F（0）=1，符合题意；

②当a＞2时，∵F′（0）=2-a＜0，

则存在b∈（0，+∞），F（x）在[0，b）上是减函数，

则当x∈（0，b）时，F（x）＜1，不符合题意．

故a≤2．

（2）当a=[1/3]时，x₂-x₁=3（ex1+sinx1−

1

3x1），

由（1）知，F（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴3（ex1+sinx1−

1

3x1）=3F（x）≥3F（0）=3，

∴x₂-x₁的最小值为3．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题综合考查了导数应用，导数可用于判断单调性，进而确定其极值与最值，同时考查了恒成立问题的转化．