Question

已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn=lnan，b3=18，b6=12，则数列{bn}前n

Answer 1

解题思路：由已知条件推导出a₃=a₁q²=

e

b

3

=e¹⁸，

a

6

＝

a

1

q

5

=

e

b

6

=e¹²，从而得到a_n=e^24-2n，b_n=24-2n，由此能求出{b_n}的前n项和S_n的最大值．

∵等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，

数列{b_n}满足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，

∴a₃=a₁q²=eb3=e¹⁸，

a6＝a1q5=eb6=e¹²，

∴

a6

a3=q³=

e12

e18=e^-6，

解得q=e^-2，a₁=

a3

q2=

e18

e−4=e²²，

∴{a_n}的通项公式为an＝e22•(e−2)n−1=e^24-2n，

∵数列{b_n}满足b_n=lna_n，

bn＝lne24−2n=24-2n，

当n=12时，b_n=0

则当n≥12时，b_n＜0

∴{b_n}的前n项和S_n取最大值时，n=12，

∴S_n的最大值是S₁₂=

12

2(b1+b12)=6（24-2+24-24）=132．

故答案为：132．

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和．

考点点评： 本题考查数列的前n项和的最大值的求法，是中档题，解题时要注意对数函数性质的灵活运用．