Question

已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①，a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=-3；

Answer 1

解题思路：先对①式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论们每个式子等于0的情况，最后求出a+b+c的所有值．

将①式变形如下，

a（[1/b+

1

c]）+1+b（[1/c+

1

a]）+1+c（[1/a+

1

b]）+1=0，

即a（[1/a+

1

b+

1

c]）+b（[1/a+

1

b+

1

c]）+c（[1/a+

1

b+

1

c]）=0，

∴（a+b+c）（[1/a+

1

b+

1

c]）=0，

∴（a+b+c）•[bc+ac+ab/abc]=0，

∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0．

若bc+ac+ab=0，则

（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）=a²+b²+c²=1，

∴a+b+c=±1．

∴a+b+c的值为0，1，-1．

点评：

本题考点： ["分式的化简求值"]

考点点评： 将3拆成1+1+1，最终都是将①式变形为两个式子之积等于零的形式，再利用两数相乘，积为0，讨论两数的值的情况，并会利用公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）及开方运算．