Question

x+y+z+2=xyz,x,y,z.为正实数,证明：xyz(x-1)(y-1)(z-1)

Answer 1

先讨论：

x,y,z中有3个＜1或2个＜1的情况不可能发生.

有1个＜1时结论显然.

以下设x－1=a,y－1=b,z－1=c,a,b,c>0.

化为abc＋ab＋bc＋ca=4,证明abc(5+a+b+c)≤8.

设abc=t³,t>0,则ab＋bc＋ca≥3t²,于是推出t≤1.

而abc(4＋a＋b＋c)≤5t＋1/3×(4-t)².

只需证明(t-4)²＋15t≤24,即t²＋7t小于等于8.

得证.