（1）△APE ∽ △PDF．
理由：∵PE ∥ DQ，PF ∥ AQ，
∴∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，
∴△APE ∽ △PDF；
（2）当P运动到AD中点时，四边形PEQF是菱形．
理由：∵PE ∥ DQ，PF ∥ AQ，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∵Q是BC的中点，
∴BQ=CQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
在△ABQ和△DCQ中，
AB=DC
∠B=∠C
BQ=CQ ，
∴△ABQ≌△DCQ（SAS），
∴AQ=DQ，
∴∠PAE=∠PDF，
∵∠PDF=∠APE，
∴∠PAE=∠APE，
∴PE=AE，
∵△APE ∽ △PDF，
∴AE：PF=AP：PD，
∵AP=PD，
∴AE=PF，
∴PE=PF，
∴四边形PEQF是菱形．