设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R都有f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3,

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  • 解题思路:(1)直接根据f(x+2)=-f(x)=f(-x)对任意实数X成立即可得到结论;

    (2)根据f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)即可得到 f(x)是以4为最小正周期的周期函数,再结合对称轴以及周期即可求出x∈[1,5]时,f(x)的解析式.

    (1)证明:因为奇函数,所以f(x+2)=-f(x)=f(-x)对任意实数X成立.

    又因为x+2,-x关于直线x=1对称,

    故:直线x=1是函数f(x)图象上的一条对称轴

    (2)因为:f(x+2)=-f(x)

    ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)

    ∴f(x)是以4为最小正周期的周期函数因为:直线x=1是函数f(x)图象上的一条对称轴;

    所以:1≤x≤3的图象与-1≤x≤1的图象关于直线x=1对称.

    故:f(x)=-(x-2)3,1≤x≤3;

    ∵f(x)是以4为最小正周期的周期函数

    ∴把f(x)在-1≤x≤1的图象向右平移四个单位,即可得f(x)在3≤x≤5上的图象;

    ∴f(x)=(x-4)3,3≤x≤5.

    ∴f(x)=

    −(x−2)3,(1≤x≤3)

    (x−4)3,(3<x≤5);

    点评:

    本题考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质.

    考点点评: 本题主要考查了函数的周期性以及奇偶性,对称性,注意:要特别利用好题中的关系式f(x+2)=-f(x).