解题思路:(1)直接根据f(x+2)=-f(x)=f(-x)对任意实数X成立即可得到结论;
(2)根据f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)即可得到 f(x)是以4为最小正周期的周期函数,再结合对称轴以及周期即可求出x∈[1,5]时,f(x)的解析式.
(1)证明:因为奇函数,所以f(x+2)=-f(x)=f(-x)对任意实数X成立.
又因为x+2,-x关于直线x=1对称,
故:直线x=1是函数f(x)图象上的一条对称轴
(2)因为:f(x+2)=-f(x)
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
∴f(x)是以4为最小正周期的周期函数因为:直线x=1是函数f(x)图象上的一条对称轴;
所以:1≤x≤3的图象与-1≤x≤1的图象关于直线x=1对称.
故:f(x)=-(x-2)3,1≤x≤3;
∵f(x)是以4为最小正周期的周期函数
∴把f(x)在-1≤x≤1的图象向右平移四个单位,即可得f(x)在3≤x≤5上的图象;
∴f(x)=(x-4)3,3≤x≤5.
∴f(x)=
−(x−2)3,(1≤x≤3)
(x−4)3,(3<x≤5);
点评:
本题考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质.
考点点评: 本题主要考查了函数的周期性以及奇偶性,对称性,注意:要特别利用好题中的关系式f(x+2)=-f(x).